Saint-Venant A.-J.-C. Barré de, Mémoire sur la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion, ainsi que sur l’equilibre intérieur des solides élastiques en général, et des formules pratiques pour le calcul de leur résistance à divers efforts s’exerçant simultanément, “Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences de l’Institut Impérial de France” t. XIV, 1856, pp. 233-560.

Lo stesso Mémoire è stato pubblicato in estratto col titolo De la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion, ainsi que sur l’equilibre intérieur des solides élastiques en général, et des formules pratiques pour le calcul de leur résistance à divers efforts s’exerçant simultanément, Imprimérie Impériale, Paris 1855. Questo stesso estratto contiene anche il positivo Rapport della Comissione formata da Cauchy, Piobert, Poncelet e Lamé, adottato il 26 dicembre 1853 e pubblicato sui “Comptes Rendus”, t. XXXVII, p. 894, ed una Preface di Saint-Venant assente nel tomo XIV dei “Mémoires présentés par divers savants”.
In questo fondamentale lavoro sulla teoria generale dell’elasticità dei solidi applicata al problema della sollecitazione composta di prismi caricati sulle basi - il cosiddetto De Saint-Venantsche Problem secondo la denominazione data da Clebsch (1862) - Saint-Venant espone per la prima volta in modo esteso e sistematico i risultati, in gran parte del tutto nuovi per l’epoca, ottenuti attraverso l’impiego del metodo da lui stesso definito misto o semi-inverso, risultati poi completati per lo studio specifico della flessione nel pressoché contemporaneo Mémoire sur la flexion des prismes, sur les glissements transversaux et longitudinaux qui l'accompagnent lorqu'elle ne s'opere pas uniformément ou en arc de cercle, et sur la forme courbe affectée alors par leurs sections transversales primitivement planes, “Journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville”, II Série, T. vol. 1, pp. 89-189, 1856. Tale metodo di soluzione dei problemi di elasticità dei solidi venne concepito da Saint-Venant come alternativa sia alla difficile e talora impossibile determinazione analitica di soluzioni dirette, cioè quelle in cui si cercano, per assegnate forze esterne, gli spostamenti e i conseguenti stati di tensione e deformazione attraverso l’integrazione delle equazioni differenziali dell’equilibrio elastico, sia all’immediata e spesso praticamente inutile determinazione di soluzioni inverse, cioè quelle che, per un dato stato di spostamento, forniscono per derivazione le forze che soddisfano le equazioni di equilibrio. Il metodo proposto da Saint-Venant consiste invece nell’assegnare, allo stesso tempo, una parte degli spostamenti e una parte delle forze e nel dedurre, di conseguenza, i restanti spostamenti e le restanti forze. Con questa procedura mista l’integrazione delle equazioni differenziali diviene allora possibile e da essa si ottengono soluzioni rigorose e complete da ritenersi come esatte per molti casi che si presentano nella pratica, o come limiti per altri casi ai primi assimilabili con buona approssimazione.
Per quanto principalmente dedicata allo studio della torsione, l’opera ha una struttura espositiva che la rende un trattato generale di teoria dell’elasticità e resistenza dei materiali. Il contenuto dei tredici capitoli è, in sintesi, il seguente: nel Cap. I è introdotto il metodo misto sopra descritto e sono indicate le ragioni a favore della sua adozione; il Cap. II, di 52 pagine, offre una trattazione sistematica della teoria molecolare dell’elasticità, dalla definizione geometrica delle dilatazioni (“dilatations) e degli scorrimenti (glissements”) con le relative leggi di trasformazioni dovute ad un cambiamento degli assi di riferimento alla definizione di tensione (“pression”) in termini molecolari; dalla deduzione delle relazioni lineari fra spostamenti e deformazioni nel caso di spostamenti supposti molto piccoli all’esposizione dei teoremi di Cauchy sulle relazioni esistenti fra le tensioni su diverse giaciture aventi centro in uno stesso punto; dalla derivazione delle equazioni di legame lineare elastico fra tensioni e deformazioni, accompagnata dalla dimostrazione della riducibilità dei coefficienti elastici da 36 a 15 come conseguenza obbligata della adottata definizione molecolare di tensione, alla loro semplificazione quando vi sono particolari casi di simmetria sino al caso di isotropia; dalla deduzione delle equazioni di equilibrio indefinite e al contorno alla loro scrittura in termini di spostamento; dalla definzione della condizioni di resistenza in accordo al criterio della massima dilatazione alla sua particolarizzazione quando gli scorrimenti sono nulli o quando sono nulle le dilatazioni; il Cap. III apre la parte applicativa e tratta del caso semplice di estensione o contrazione di un prisma a base qualunque. Qui si trova anche una chiara esposizione qualitativa del cosiddetto principio di Saint-Venant; il Cap. IV riguarda l’applicazione del metodo al caso di flessione di un prisma etc; con il Cap. V inizia lo studio della torsione e in esso vengono date le equazioni differenziali generali del problema; il Cap. VI tratta della torsione dei prismi a sezione ellittica; il Cap. VII fornisce le espressioni generali degli integrali che soddisfano all’equazione indefinita di equilibrio nel caso della torsione; il Cap. VIII espone la torsione dei prismi a base rettangolare; il Cap. IX si occupa della torsione di prismi con sezioni diverse da quella ellittica o rettangolare; il Cap. X studia il caso in cui il coefficiente di elasticità tangenziale non è lo stesso nelle direzione di due assi appartenenti al piano della sezione trasversale; il Cap. XI tratta della torsione di prismi a sezione cava; il Cap. XII affonda il problema della sollecitazione composta dei prismi; infine, il Cap. XIII dà un sunto della memoria, fornisce una ricapitolazione delle formule e delle regole pratiche ed offre una serie di esempi numerici.

Bibliografia

Todhunter I., Pearson K., A history of the theory of elasticity, Cambridge University Press, Cambridge 1886-1893.

Timoshenko S.P., History of strength of materials, McGraw-Hill, New York 1953.